数学归纳法证明求和公式

作者: admin
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更新: 6/28/2019, 9:17:12 AM

数学归纳法是用于证明结论的正确性,而无法用于发现公式和定理。

证明:若nn是正整数,则1+2+....+n=n(n+1)21+2+....+n=\frac{n(n+1)}{2}
P(n)P(n)是命题:前nn个数之和为n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
基础步骤:当n=1n=1时,n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}成立。
归纳步骤:假定任意正整数k,P(k)P(k)成立,则在此假定下,P(k+1)P(k+1)必定为真。

1+2+....+k=k(k+1)21+2+....+k=\frac{k(k+1)}{2},等式两边加上k+1k+1得:
1+2+....+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)1+2+....+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)右式等于:

(k+1)(k+2)2=(k+1)((k+1)+1)2\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}

\thereforenn个数之和为n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}成立
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