很简单,假如你住在32楼,现在你妈让你去楼下倒垃圾,你需要先下到31楼,再下到30楼再下到29楼。。。。。 到达1楼时你就倒了垃圾,但是还没回家给你妈报告,所以你还要回去,所以你需要一层一层返回到32楼。 为什么不能一次性解决问题呢?是因为没办法,你无法从32楼直接到达一楼,就算买了保险也不行。
数学归纳法是用于证明结论的正确性,而无法用于发现公式和定理。 证明:若nn是正整数,则1+2+....+n=n(n+1)21+2+....+n=\frac{n(n+1)}{2}。设P(n)P(n)是命题:前nn个数之和为n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}。基础步骤:当n=1n=1时,n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}成立。归纳步骤:假定任意正整数k,P(k)P(k)成立,则在此假定下,P(k+1)P(k+1)必定为真。 1+2+....+k=k(k+1)21+2+....+k=\frac{k(k+1)}{2},等式两边加上k+1k+1得:1+2+....+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)1+2+....+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)右式等于:(k+1)(k+2)2=(k+1)((k+1)+1)2\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\thereforenn个数之和为n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}成立
P(n,r)P(n,r)代表元素总数为n的集合中取出r个元素进行排列 个数定理1: P(n,r)=n×(n1)×...×(nr+1)P(n,r)=n\times(n-1)\times...\times(n-r+1)也可写作 P(n,r)=nr+1nP(n,r) = \prod_{n-r+1}^{n}证明: 设 SS是具有 nn个元素的集合,我们取第一个元素时有nn种可能,取第二个元素时有n1n-1种可能,依次类推, 第 rr次有n(r+1)n-(r+1)种可能 ( r<nr<n)。我们要获取P(n,r)P(n,r)可用全排列即 n!n!除去多余部分排列(即 0nr\prod_0^{n-r} )。并约定0!=10!=1,所以证得: P(n,r)=n!(nr)!=nr+1nP(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!} =\prod_{n-r+1}^{n}此证明过于简洁,仅作参考。前缀知识包括计数乘法定理。
之前看的科大版本的线性代数,里面并没有提复数的四则运算封闭集合是数域,而北大前代数小组的高等代数提到了这一点,这对初学者是很重要的,我曾被科大的习题支配了很久,原因就是书上没讲的,不敢用,然后证明会走些弯路,比如证Z[2]Z[\sqrt{2}]不为数域,其实可以直接证其对除法不封闭即可
题目: 00年普及组-计算器的改良 此题关键点在于解析运算表达式,把未知数的系数和其他常量区分开,最后作除法即可。 而解析运算表达式的一个技巧就是首先对方程的仔细观察,我们从左边开始解析,会遇到以下几种情况: 是常量?2. 是变量 3. 需要取逆(等式右边) 比如:3x+9=3-3x+9 = -3如果从左往右依次解析,我们需要关注好几个状态。比如遇到字符‘-’后接下来必定是数字,我们可以把这些数字(实际上是字符)推入一个栈中。在遇到字符‘x’时将放入栈中的数字(实际上是字符)全部取出并转化为对应的数加在变量的常系数累加器上面,接下来依次遍历,遇到‘+’号再次将数字9推入栈中,直到遇到‘=’号,把字符从栈中取出转换为数(取逆)加在常量累加器上面,接下来再进行遍历,规则和上面一样,不过,需要对相应的变量系数取逆,最后把常量累加器除以变量累加器,即得结果,你能写出对应的代码吗? 注意 这里的界定状态,一共有几种情况,那么就有几种界定状态
题目:最长单词2 这道题的解法有很多,甚至可以用结构体来做,这里我用最基本的遍历来做。 我们可以先把所有的单词的长度放进一个数组 i am happy. 上面这个句子,我们可以把它看成 {1, 2, 5} 然后我们就可以一次遍历这个数组,获取其中的最大值,然后打印对应的单词,很直观对吧,那么用什么数据结构来做最好呢? 答案是: 二维数组 使用字符二维数组来保存句子,数组中的每个一维字符数组用于储存每个单词,我们仅需遍历一次这个二维数组,然后对每个一维字符数组的长度作比较,保存长度最大的下标,最后输出它